No Image

Что является оценкой генеральной доли или вероятности

СОДЕРЖАНИЕ
1 просмотров
10 марта 2020

Пусть генеральная совокупность содержит элементов, а из них элементов обладают некоторым свойством. Тогда доля элементов в генеральной совокупности, обладающая этим свойством, равна . Эту долю можно интерпретировать как вероятность того, что произвольно и случайно взятый из генеральной совокупности элемент будет обладать этим свойством. Величина называется генеральной долей.

Генеральная доля непосредственно может быть определена в переписи генеральной совокупности. Оценка генеральной доли может быть дана по выборке из генеральной совокупности.

Если построена выборка из элементов, а в ней этим свойством обладает элементов, то доля элементов выборки, обладающих этим свойством, будет равна , которая называется выборочной долей или относительной частотой этого свойства в выборке. Можно доказать, что выборочная доля является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли для соответствующего свойства.

Будем использовать ту же модель выборки, что и в предыдущих разделах. Пусть сделана выборка из распределения для случайной величины . Независимые измерения или наблюдения являются реализацией этой выборки.

При определении выборочной доли в нашей модели принимает значение 1, если реализация этой случайной величины обладает исследуемым нами свойством элементов генеральной совокупности. Будем считать успехом то, что выбранный элемент обладает исследуемым свойством, а неудачей – что не обладает. Можно считать, что все имеют одинаковые распределения (это по определению выборки) с вероятностями успеха , а вероятностью неудачи .

Определим случайную величину , т.е. общее число успехов или общее число случаев, когда выбранные в реализацию выборки элементы обладают исследуемым свойством. Математическое ожидание отдельной случайной величины можно посчитать прямо по определению: . Тогда дисперсия этой случайной величины равна по определению: .

Следовательно, математическое ожидание случайной величины равно:

Аналогично, дисперсия случайной величины равна:

Теперь можно определить математическое ожидание выборочной доли . Поскольку является постоянной оно равно . Получилось, что математическое ожидание выборочной доли равно генеральной доле, т.е. выборочная доля является несмещённой оценкой генеральной доли. Можно доказать, что эта же оценка является эффективной и состоятельной.

Дисперсия выборочной доли поскольку является постоянной равна . Тогда стандартное квадратичное отклонение выборочной доли . Получается, что выборочная доля является тем более эффективной оценкой генеральной доли, чем больше размер выборки. Но рост точности оценивания происходит по квадратичному закону, т.е. при больших выборках приращение точности существенно меньше, чем при малых. Поэтому для оценивания долей или процентов в генеральных совокупностях очень дорого и трудно делать большие выборки. Они себя не оправдывают из-за невысокого роста точности оценивания. В современной социологии чаще всего используют выборки объёмов от 1500-1600 респондентов, до 2000 респондентов, а наибольшими на практике являются выборки в 4000 респондентов. При более высоких объёмах выборки существенно возрастают затраты денег и времени на проведение исследований, а приращение точности оценивания генеральных долей происходит незначительное. Такие исследования проводить экономически невыгодно.

Приведённые формулы справедливы для повторных выборок. Для бесповторных выборок в них необходимо вносить корректировки.

В случае бесповторной выборки математическое ожидание выборочной доли совпадает с генеральной долей, как и в случае повторной выборки: . Но для вычисления дисперсии и стандартного квадратичного отклонения выборочной доли для бесповторной выборки необходимо сделать поправки: и . Здесь — объём выборки, а — объём генеральной совокупности.

В большинстве исследований используют именно бесповторные выборки, чтобы обеспечить в них большее разнообразие информации из генеральных совокупностей.

Если объём выборки достаточно велик и при этом отношение объёма выборки к объёму генеральной совокупности мало, то закон распределения выборочной доли будет близок к нормальному. Это свойство выборочных долей часто используют в проведении практических исследований.

Понятие интервальной оценки

При статистическом оценивании параметров генеральной совокупности важно знать, в каких границах могут меняться их значения. Для того, чтобы ответить на такого рода вопросы, оказывается недостаточно знать только значения точечных оценок параметров генеральной совокупности по статистикам выборок. Для ответов на такие вопросы формируются так называемые интервальные оценки параметров генеральных совокупностей.

Интервальной оценкой параметра генеральной совокупности является интервал, внутри которого с высокой вероятностью находится истинное значение этого параметра. Часто такие интервалы строятся вокруг значений точечных оценок параметров генеральных совокупностей по статистикам выборок. Такие интервалы фактически показывают, насколько значения параметров генеральных совокупностей могут отличаться от точечных значений выборочных статистик.

Читайте также:  Программа для умных часов на айфон

Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; Нарушение авторского права страницы

Пусть требуется оценить долю тех объектов заданной генеральной совокупности, которые удовлетворяют некоторому условию генеральную долю . Для этого из генеральной совокупности выделяют выборку, и по результатам её обследования находят долю тех объектов, которые удовлетворяют условию выборочную долю . Очевидно, что , где – объем выборки, – число тех её объектов, которые удовлетворяют условию . Выборочная доля в данном случае является той величиной, с помощью которой мы получим информацию о неизвестном значении генеральной доли.

Таким образом, выборочная доля является оценкой генеральной доли .

Пример. – доля бракованных деталей генеральной совокупности, – доля бракованных деталей в выборке. Условие (событие) – деталь, взятая наудачу из генеральной совокупности – бракована.

Простейший способ оценивания – точечное оценивание – подразумевает использование приближенного равенства .

Как и всякая оценка, выборочная доля является случайной величиной. Действительно, выборка из генеральной совокупности выделяется случайным образом. Соответственно то значение, которое примет выборочная доля, будет случайным.

Следующие теоремы характеризуют выборочную долю как случайную величину.

Теорема 1.Математическое ожидание выборочной доли равно генеральной доле:

.

Среднее квадратическое отклонение () выборочной доли вычисляется по формулам

– в случае повторной выборки и

в случае бесповторной выборки, где объем генеральной совокупности.

Напомним, что по определению среднего квадратического отклонения в случае повторной выборки имеем (аналогично в случае бесповторной выборки).

Замечание. При применении формул Теоремы 1 полагают

.

Теорема 2.Закон распределения выборочной доли неограниченно приближается к нормальному закону при неограниченном увеличении объема выборки.

Подобно тому, как мы это сделали в предыдущем параграфе, как следствие Теоремы 2, получаем формулу доверительной вероятности:

– в случае повторной выборки. Заменяя в последнем равенстве на , получаем формулу доверительной вероятности в случае бесповторной выборки.

По определению, величина , фигурирующая в формуле доверительной вероятности, называется предельной ошибкой выборки. Интервал называется доверительным интервалом.

Выше было указано, в чем состоит точечная оценка генеральной доли. Интервальное оценивание сводится, например, к вычислению значения доверительной вероятности при заданной предельной ошибке выборки.

Теорема 3.В случае повторной выборки выборочная доля является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли.

Пример.Выборочные данные о надое молока для 100 коров из 1000 представлены таблицей:

Надой молока, ц 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
Число коров

1. Найти вероятность того, что доля всех коров с надоем молока более 40 ц отличается от такой доли в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине), для случая повторной и бесповторной выборок.

2. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9596 заключена доля всех коров с надоем более 40 ц.

3. Сколько коров надо обследовать, чтобы с вероятностью 0,9786 для генеральной доли коров с надоем более 40 ц можно было гарантировать те же границы что и в п.2.

Решение. Число коров с надоем более 40 ц равно 34 (, см. заданный вариационный ряд). Тогда .

Для нахождения доверительной вероятности п. 1 задания воспользуемся одноименной формулой при .

Пусть рассматриваемая выборка – повторная. Тогда по формуле Теоремы 1, учитывая Замечание, получаем

.

.

Аналогично, в случае бесповторной выборки:

,

.

Доверительным в данном случае является интервал . Таким образом, неизвестное значение доли всех коров с надоем более 40 ц накрывается доверительным интервалом (0,29;0,39) с вероятностью 0,7109 в случае повторной выборки и с вероятностью 0,733 в случае бесповторной выборки.

В п. 2 задания при заданном значении доверительной вероятности искомым является доверительный интервал. Поскольку значение выборочной доли известно, остается найти предельную ошибку выборки .

Пусть выборка – повторная. По условию, принимая во внимание формулу доверительной вероятности, имеем

.

По таблице значений функции Лапласа найдем такое , что : . Тогда и, используя найденное выше значение , получаем

.

Соответственно, доверительным будет интервал:

Читайте также:  Pegatron h81 m1 драйвера

.

Пусть выборка – бесповторная. Аналогично предыдущему, получаем предельную ошибку выборки

и доверительный интервал:

.

Таким образом, доля всех коров с надоем молока более 40 ц с вероятностью 0,9596 накрывается доверительным интервалом (0,243; 0,437) в случае повторной выборки и интервалом (0,248; 0,432) в случае бесповторной выборки.

В п. 3 по заданным значениям доверительной вероятности и предельной ошибки выборки найдем необходимый объем выборки. Из начла решения заимствуем значение выборочной доли , найденное по исходному вариационному ряду.

Пусть выборка – повторная. По условию, принимая во внимание формулу доверительной вероятности, имеем:

.

По таблице значений функции Лапласа найдем такое , что : . Тогда и, . Подставляя вместо выражение из Теоремы 1, приходим к уравнению относительно неизвестной величины :

.

Решая это уравнение относительно , подставляя в полученную формулу известные величины, завершаем решение

(заметим, что, как и ранее, округление здесь произведено в большую сторону).

Аналогично, в случае бесповторной выборки из условия и формулы доверительной вероятности следует равенство

или, принимая во внимание известное выражение для (см. Теорему 1):

.

Решая это уравнение относительно , получаем

.

Подставляя в правую часть последнего равенства известные значения, окончательно имеем:

.

Таким образом, в повторную выборку надо взять 127 коров, чтобы с вероятностью 0,9786 можно было утверждать, что доля всех коров с надоем молока более 40 ц накрывается доверительным интервалом (0,243; 0,437). Аналогично, в бесповторную выборку надо взять 123 коровы, чтобы с вероятностью 0,9786 можно было утверждать, что доля всех коров с надоем молока более 40 ц накрывается доверительным интервалом (0,248; 0,432).

Домашнее задание:9.19, 9.21, 9.23, 9.30.

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 2519 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 30 Мая 2013 в 16:34, тест

Описание работы

Вопрос: 1 — й Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с 1 или 3 очками:
Вопрос: 2 — й Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с 6 очками:
Вопрос: 3 — й Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с нечѐтным числом очков:
Вопрос: 4 — й Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения грани с чѐтным числом очков:
Вопрос: 5 — й В задачах на расчѐт вероятности того, что в n независимых испытаниях событие A появится от a до b раз, используется при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1:

Файлы: 1 файл

Externat_Teoria_veroyatnostey_i_matematicheskaya (9).docx

Ответ: распределение Стьюдента

При проверке гипотезы об однородности ряда вероятностей в случае полиномиального распределения используется:

Ответ: распределение Пирсона

При проверке значимости коэффициента корреляции с помощью таблицы Фишера-Иейтса коэффициент корреляции считается значимым, если:

Ответ: рассчитанное по выборке значение коэффициента корреляции превышает по модулю найденное по таблице критическое значение

Произведение каких событий есть событие невозможное?

Простой называют статистическую гипотезу:

Ответ: однозначно определяющую закон распределения

Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной дисперсии для заданной надѐжности γ?

Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной доли (вероятности) в случае большого объѐма наблюдений для заданной надѐжности γ?

Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной средней для заданной надѐжности γ?

Сколькими способами можно поставить 5 человек в очередь?

Сколькими способов жеребьѐвки существует для 5 участников конкурса?

Сколько различных двухбуквенных бессмысленных слов можно составить из букв К, Н, И, Г, А?

Сколько различных трѐхбуквенных бессмысленных слов можно составить из букв К, Н, И, Г, А?

Сложной называют статистическую гипотезу:

Ответ: не определяющую однозначно закон распределения

Согласно методу наименьших квадратов, в качестве оценок параметров двумерной линейной регрессионной модели следует использовать такие значения b0, b1, которые минимизируют сумму квадратов отклонений:

Ответ: фактических значений зависимой переменной от ее расчетных значений

Статистическим критерием называют:

Ответ: правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу следует либо отвергнуть, либо не отвергнуть

Статистической гипотезой называют предположение:

Ответ: о виде или параметрах неизвестного закона распределения случайной величины

Сумма каких событий есть событие достоверное?

Точечную оценку называют эффективной, если она:

Читайте также:  Как восстановить удаленные файлы игры

Ответ: обладает минимальной дисперсией среди всех несмещенных оценок

У какого распределения случайной величины вероятности рассчитываются по формуле Бернулли?

У какого распределения случайной величины вероятности рассчитываются по формуле Пуассона?

Уравнение регрессии имеет вид ŷ=1,7+5,1x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:

Ответ: увеличится на 5,1

Уравнение регрессии имеет вид ŷ=1,7-5,1x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:

Ответ: уменьшится на 5,1

Уравнение регрессии имеет вид ŷ=5,1+1,7x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:

Ответ: увеличится на 1,7

Уравнение регрессии имеет вид ŷ=5,1-1,7x. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:

Ответ: уменьшится на 1,7

Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины есть … еѐ функции распределения

Функция распределения дискретной случайной величины есть функция:

Функция распределения любой случайной величины есть функция:

Функция распределения непрерывной случайной величины есть функция:

Функция распределения непрерывной случайной величины есть … еѐ функции плотности вероятности

Человек забыл последние две цифры номера телефона своего знакомого и, помня лишь, что они различны, пытается набрать номер наугад. Какова вероятность, что он дозвонится с первого раза?

Чем достигается репрезентативность выборки?

Ответ: случайностью отбора

Чему равна вероятность достоверного события?

Чему равна вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины?

Чему равна вероятность невозможного события?

Чему равна дисперсия постоянной величины?

Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X+1, если дисперсия X равна 2?

Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X+1, если дисперсия X равна 3?

Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X-1, если дисперсия X равна 3?

Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X-5, если дисперсия X равна 2?

Чему равна дисперсия случайной величины Y=2X-5, если дисперсия X равна 2?

Чему равна дисперсия случайной величины Y=3X+5, если дисперсия X равна 2?

Чему равна сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины?

Чему равна сумма доверительной вероятности (надѐжности) γ и вероятности α при использовании распределения Стьюдента?

Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=2X+2, если математическое ожидание X равно 3?

Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=2X-2, если математическое ожидание X равно 4?

Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=2X-2, если математическое ожидание X равно 5?

Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=4X+2, если математическое ожидание X равно 3?

Чему равно математическое ожидание постоянной величины?

Ответ: этой величине

Чему равно математическое ожидание произведения независимых случайных величин?

Ответ: произведению их математических ожиданий

Чему равно математическое ожидание суммы случайных величин?

Ответ: сумме их математических ожиданий

Что называют мощностью критерия 1-β?

Ответ: Нулевая гипотеза не верна и ее отвергают согласно критерию

Что называют мощностью критерия1-β?

Ответ: вероятность не допустить ошибку второго рода

Что называют ошибкой второго рода β ?

Ответ: Нулевая гипотеза не верна, но ее принимают согласно критерию

Что называют ошибкой первого рода α?

Ответ: Нулевая гипотеза верна, но ее отвергают согласно критерию

Что показывает множественный коэффициент корреляции?

Ответ: тесноту связи между одной величиной и совместным действием остальных величин

Что показывает парный коэффициент корреляции?

Ответ: тесноту связи между величинами X и Y на фоне действия остальных переменных

Что показывает частный коэффициент корреляции?

Ответ: тесноту связи между двумя переменными при фиксированном значении остальных

Что является несмещѐнной точечной оценкой генеральной дисперсии?

Ответ: исправленная выборочная дисперсия

Что является точечной оценкой генеральной дисперсии?

Ответ: выборочная дисперсия

Что является точечной оценкой генеральной доли или вероятности p?

Ответ: частость (относительная частота) события

Что является точечной оценкой математического ожидания?

Ответ: средняя арифметическая

Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной доли или вероятности?

Ответ: частость (относительная частота) события

Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной средней?

Ответ: средняя арифметическая

Ширина доверительного интервала при построении интервальных оценок зависит от:

Ответ: доверительной вероятности (надѐжности) и числа наблюдений

Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector